6. オペアンプ(前編)

オペアンプの代表的な回路トポロジとして、Fig. 1-1 のような 2段増幅型の回路があります。
これは初段が 「アナログ回路の基本要素」 で示した、”シングルエンドの差動対” で、次段が “電流源負荷のインバータ” の 2段構成のアンプになります。　2段の増幅回路をカスケード的に接続することで高いゲインを稼ぐことができます。

この節ではこのトポロジーの回路について、
　① DC 動作点解析
　② AC 小信号解析
　③ 位相補償
について説明を行っていきます。

Fig. 1-1 の回路図に、動作点解析を行う上でのパラメータを追記したものを Fig. 1-2 に示します。

計算を簡略化するために、すべてのトランジスタについて、$V_{th}$ , $V_{eff}$ , $V_{dsat}$ はそれぞれ等しい値を取ると仮定します。

また、後述しますが、オペアンプが通常動作するときは $POS$ 入力と $NEG$ 入力は DC 的にほぼ同じ電圧となりますので、その電圧を $V_{ic}$ (入力コモン電圧) とします。

まず、$V_c$ ノードについて

M0 を電流源として使用するためには 5極管条件を満足する必要があるので
　　$V_c\gt V_{dsat}$　　　… ①

M1 (M2) の $V_{gs}$ の関係から
　　$V_{ic}-V_c=V_{th}+V_{eff}$
　　$V_c=V_{ic}-V_{th}-V_{eff}$　　　… ②

①,②から
　　$V_{ic}-V_{th}-V_{eff}\gt V_{dsat}$

この式を変形して
　　$V_{ic}\gt V_{th}+V_{eff}+V_{dsat}$

以上から差動対の入力電圧 $V_{ic}$ の下限値がわかります。

次に $V_b$ ノードについて

M3 の Vgs の関係から
　　$V_b=V_{dd}-V_{th}-V_{eff}$　　　… ③

差動対のゲインを稼ぐためには M1を5極管条件で使う必要があるので
　　$V_b\gt V_{c}+V_{dsat}$　　… ④

④に②を代入して
　　$V_b\gt V_{ic}-V_{th}-V_{eff}+V_{dsat}$　　　… ⑤

⑤に③を代入して
　　$V_{dd}-V_{th}-V_{eff}\gt V_{ic}-V_{th}-V_{eff}+V_{dsat}$

この式を変形して
　　$V_{ic}\lt V_{dd}-V_{dsat}$　　　…⑥

以上から差動対の入力電圧 $V_{ic}$ の上限値がわかります。

以上から、このオペアンプの入出力電圧のダイアグラムは Fig. 1-3 のように書けます。

具体的な数値として例えば、$V_{dd}=1.8V, V_{th}=0.6V, V_{eff}=V_{dsat}=0.2V$ とおいてみると、
　$1.0\lt V_{ic}\lt V_{dd}-0.2$
　$1.0\lt V_{ic}\lt 1.6$

　$0.2\lt V_o\lt V_{dd}-0.2$
　$0.2\lt V_o\lt 1.6$

となります。

Fig. 1-1 の回路図に、小信号解析を行う上でパラメータ追記したものを Fig. 1-4a 、その小信号等価回路を Fig. 1-4b に示します。

計算を簡略化するために、計算に寄与しない、あるいは寄与が小さいパラメータは省略しています。

また、$v_a$ ノードには次段の入力容量と寄生容量 $C_1$ を、$v_o$ ノードには次段の入力容量と寄生容量 $C_2$ があるとしています。

1st Stage の出力は、
　　$\displaystyle v_a=g_{m1}\cdot v_i \cdot \frac{r_{ds1}\cdot \frac{1}{s\cdot C_1}}{r_{ds1}+\frac{1}{s\cdot C_1}}$
整理すると
　　$\displaystyle \frac{v_a}{v_i}=\frac{g_{m1}\cdot r_{ds1}}{1+s\cdot C_1\cdot r_{ds1}}$

ここで、$A_1=g_{m1}\cdot r_{ds1}$ , $\omega_{p1}=\frac{1}{C_1\cdot r_{ds1}}$ とおくと
　　$\frac{v_a}{v_i}=\frac{A_1}{1+s/\omega_{p1}}$

2nd Stage についても同様に計算して$A_2=g_{m2}\cdot r_{ds2}$ , $\omega_{p2}=\frac{1}{C_2\cdot r_{ds2}}$ とおくと
　　$\displaystyle \frac{v_o}{v_a}=\frac{A_2}{1+s/\omega_{p2}}$

したがってトータルでの入出力伝達関数は
　　$\displaystyle \frac{v_o}{v_i}=\frac{A_1}{1+s/\omega_{p1}}\cdot \frac{A_2}{1+s/\omega_{p2}}$

ここで、具体的な数値を代入して AC特性を求めてみます。

いま例えば $g_{m1}=100\mu Mho$, $r_{ds1}=500k\Omega$ , $C_1=0.1pF$ とし、 $g_{m2}=500\mu Mho$, $r_{ds1}=100k\Omega$ , $C_2=2pF$ とすると、
　$A_1=50$, $A_2=50$
　　→ $A=A_1\cdot A_2=250 (48dB)$
　$\omega_1=5M rad/sec$
　　→ $f_1=800kHz$
　$\omega_2=10M rad/sec$
　　→　$f_2=1.6MHz$

この条件でボード線図をプロットすると Fig. 1-5 のようになります。

先のように、1st Pole と 2nd Pole の距離が近い場合には、位相余裕を稼ぐことが困難になります。(Fig. 1-6 青線)

1st Pole だけであれば位相は 90°までしか回らないため絶対に安定ですが、ゲインが 0dB まで落ちる前に 2nd Pole を迎えると位相は回り、180° に近づくために位相余裕はなくなって行きます。

つまり、1st Pole と 2nd Pole の間隔を空けて、2nd Pole が来るより前にゲインを落とすことが位相補償の基本的な考え方です。
(Fig. 1-6 赤線)
　　

Fig. 1-7a に、位相補償を追加したオペアンプの回路図を示します。　位相補償は破線四角で囲んだ部分になり、補償容量は通常 C1 より大きく取るので、C1 は省略しています。

以下、小信号等価回路 (Fig. 1-7b) に基づいて伝達関数を算出します。

1st Stage の出力は、
　　$\displaystyle v_a=g_{m1}\cdot v_i \cdot \frac{r_{ds1}\cdot (R_c+\frac{1}{s\cdot C_1})}{r_{ds1}+R_c+\frac{1}{s\cdot C_1}}$

整理すると
　　$\displaystyle \frac{v_a}{v_i}=\frac{g_{m1}\cdot r_{ds1}\cdot (1+s\cdot C_c\cdot R_c)}{1+s\cdot C_c\cdot(R_c+ r_{ds1})}$

通常は $r_{ds2}\gg Rc$ となるので
　　$\displaystyle \frac{v_a}{v_i}\doteqdot \frac{g_{m1}\cdot r_{ds1}\cdot (1+s\cdot C_c\cdot R_c)}{1+s\cdot C_c\cdot r_{ds1}}$

$A_1=g_{m1}\cdot r_{ds1}$ , $\omega_z=\frac{1}{C_c\cdot R_c}$ , $\omega’_{p1}=\frac{1}{C_c\cdot r_{ds1}}$
とおくと、
　　$\displaystyle \frac{v_a}{v_i}\doteqdot \frac{A_1\cdot (1+s/ \omega_z)}{1+s/\omega’_{p1} }$

2nd Stage については位相補償前と変わらず
　　$\displaystyle \frac{v_o}{v_a}=\frac{A_2}{1+s/\omega_{p2}}$

なのでトータルの入出力伝達関数は
　　$\displaystyle \frac{v_o}{v_i}\doteqdot \frac{A_1\cdot (1+s/ \omega_z)}{(1+s/\omega’_{p1})(1+\omega_{p2})}$

以上の式から $\omega_z=\omega_{p2}$ となるように $R_c$ , $C_c$ を選ぶと、1st stage の Zero と 2nd Stage の Pole が打ち消し合って 2nd Pole が消失し、1st Pole のみの一次応答特性となって安定となります。
これが位相補償ということになります。
※ 実際には回路に示されない寄生成分による　
　高域の Pole は存在するため厳密には一次
　応答ではありません。

Fig. 1-8a に 1st stage, 2nd srage 個別の周波数特性を、Fig. 1-8b にトータルの周波数特性を示します。

Fig. 1-9 に、2段増幅型オペアンプのもう一つの位相補償方法についての回路図を示します。　位相補償は赤字で示した部分であり、1st Stage の出力と 2nd Stage の出力との間に位相補償容量 Cc を追加します。

この位相補償容量は 2nd Stage のインバータの入力と出力との間に入るため、ミラー容量として働くことがポイントです。

Fig. 1-10 に示すように、Cc をインバータのゲイン倍($\times A_2$) された巨大なミラー容量
($\doteqdot A_2\times C_c$) を、1st Stage の $r_{ds1}$ で充放電するために 1st stage の $\omega’_{p1}$ は位相補償する前に対して非常に低い周波数にシフトされます。

ここでミラー容量を使うとさらに好ましい効果があります。

それはミラー容量が周波数によって変わるということを利用しています。
ミラー容量はインバータのゲインで決まりますが、インバータ自体が周波数特性を持つ、すなわちインバータは Pole 周波数に達するまでは一定のゲインを維持しますが、 Fig. 1-11 の緑線で示すように、それを超えると周波数とともにゲインが低下するためミラー容量も減少します。　これは 1st Stage の Pole 周波数が高くなったとこと等価になるので周波数特性も高周波にシフトしていくことなり、それぞれが相殺してゲインを一定に維持するように見えます。　すなわち Fg. 1-11 の紫線で示されるようにインバータの Pole 周波数で Zero を持つように振る舞います。

さらにインバータのゲインが低下し 1 を割り込むと、もはやミラー容量は存在せず、それ以上の直線の移動は無くなり、再び周波数とともにゲインが落ち始めます。　つまりインバータのゲインが 0dB を割り込む周波数、つまりインバータの Unity Gain 周波数に達すると、ミラー効果がない場合の周波数特性と合致するため、そこで 再び直線は折れ曲がり、そこに Pole ができたかのように振る舞います。

1st Stage, 2nd Stage の周波数特性を Fig. 1-12a に、トータルのアンプとしての周波数特性を Fig. 1-12b に示します。

位相補償前の 1st Pole はミラー容量で大きく低周波にシフトします。
位相補償前の 2nd Pole はミラー容量で発生した 1st Stage の Zero と相殺して消失します。

そしてミラー効果がなくなって現れる 1st Stage の Pole が2nd Pole として現れるため、見かけ上位相補償前の 1st Pole が低周波側へ、2nd Pole が高周波側に移動することとなり、位相補償がなされます。

前節で述べたゼロ補償に比べてミラー容量を使うことで、位相補償容量を小さくできることが特徴です。

これまでミラー容量による位相補償について定性的な説明をしましたが、ここからは小信号入出力特性の計算結果をベースに定量的な解析を行います。

Fig. 1-13a には位相補償しない場合の小信号等価回路を示しますが、それに対応する入出力特性は以下の式で表されます。
　　$\displaystyle \frac{v_o}{v_i}=\frac{g_{m1}\cdot r_{ds1}\cdot g_{m2}\cdot r_{ds2}}{(1+s\cdot C_1\cdot r_{ds1})(1+s\cdot C_2\cdot r_{ds2})}$

ここで、$A_0=g_{m1}\cdot r_{ds1}\cdot g_{m2}\cdot r_{ds2}$ , $\omega_{p1}=\frac{1}{C_1\cdot r_{ds1}}$ , $\omega_{p2}=\frac{1}{C_1\cdot r_{ds2}}$ とおくと、
　　$\displaystyle \frac{v_o}{v_i}=\frac{A_0}{(1+s/\omega_{p1})(1+s/\omega_{p2})}$

となります。

Fig. 1-13b には位相補償を行った場合の小信号等価回路を示しますが、それらに対応する入出力特性は以下の式で表されます。
(ここでは計算結果のみを示しますので、計算の詳細については Appendix を参照してください)
　　　$\displaystyle \frac{v_{o}}{v_{i}}\doteqdot\frac{A_{0}\left(1-s\cdot\frac{C_{c}}{g_{m2}}\right)}{\left(1+s/\omega_{p1}^{\prime}\right)\cdot\left(1+s/\omega_{p}^{\prime}2\right)}$

ここで、
　　$\displaystyle \omega’_{p1}=\frac{1}{r_{ds1}\cdot C_c\cdot (g_{m2}\cdot r_{ds2})}$

　　$\displaystyle \omega’_{p2}=\frac{g_{m2}}{C_1+C_2+\frac{C_1\cdot C_2}{C_s}}\doteqdot \frac{g_{m2}}{C_1+C_2}$

　　$\displaystyle \omega_z=\frac{g_{m2}}{C_c}$

$\omega’_{p1}$ は、$C_c$ を ミラーゲイン($\doteqdot g_{m2}\cdot r_{ds2}$) 倍した容量と初段の出力抵抗 $r_{ds1}$ で形成される Pole 周波数となり、位相補償なしの場合の $\omega_{p1}$ と比べると極めて低周波にできます。

また $\omega’_{p2}$ は、$\frac{1}{g_{m2}}\ll r_{ds2}$ となるため、$\omega_{p2}$
($=\frac{1}{C_2\cdot r_{ds2}}$) よりもはるかに高い周波数にできます。

以上から、位相補償により 1st Pole は超低周波に、2nd Pole は超高周波にスプリットされることがわかります。

これだけであれば万々歳なのですが、入出力伝達関数の分子に $\left(1-s\cdot\frac{C_{c}}{g_{m2}}\right)$ が現れる、すなわち s平面の右半面に Zero が発生することが問題になります。(Fig. 1-14)

伝達関数の分子=0 となる s は Zero点 ですが、その Zero 点が s平面の右半面にあるため、これを右半面 Zero と呼び、”悪玉 Zero” とも呼ばれます。　(これに対応して左半面 Zero は、”善玉 Zero” と呼ばれます)

Fig. 1-15a に通常の微分回路などで発生する左半面 Zero の場合のボード線図、Fig. 1-15b に右半面 Zero があった場合のボード線図を示します。

1st Pole 周波数から 20dB/dec で減衰し、Zero 周波数に達するとゲインが落ちずにフラットになるのは同じですが、左半面 Zero の場合には位相が回復するのに対して、右半面 Zero の場合には位相が遅れ、180° に近づきます。

つまり右半面 Zero の場合は位相だけに着目すると、Pole があるように振る舞い、しかも落ちて欲しいゲインが逆に回復してしまうため、まさに “悪玉” です。
一方、左半面 Zero の場合には、確かにゲインは落ちないのですが、位相が回復するために、”善玉” と言えます。

ミラー容量を使ったポールスプリット型の位相補償を行う場合は、そのの欠点である右半面 Zero を消してやる必要があります。

右半面 Zero を消去するためには、Fig. 1-16 のように補償容量に直列に電流制限抵抗を挿入します。

こと抵抗を挿入しだ場合の Zero の角周波数は次式で与えられます。
　　$\displaystyle \frac{1}{\omega_z}=C_c\cdot (R_c-\frac{1}{g_{m2}})$

式からわかるように $R_c=0$ の場合など、$R_c\lt\frac{1}{g_{m2}}$ の場合には Zero は右半面にできて不安定になりますが、$R_c\gt\frac{1}{g_{m2}}$ の場合には Zero は左半面にできるため、安定です。

この時、何が起きているかを Fig. 1-17 の位相補償容量・電流制限抵抗周りの小信号等価回路図で説明します。

低周波では容量のインピーダンスは高いので、1st stage と 2nd stage ほ完全に分離されています。　ところが、l高周波になるとインピーダンスが下がるため 1st stage で発生する電流が 2nd Stage に流入します。

Fig. 1-17a のように $R_c\lt\frac{1}{g_{m2}}$ の場合にはその電流が $g_{m2}$ で流せる電流を上回ります。　そのため、本来下がるべき 2nd stage の電圧が上がる、すなわち本来負帰還がかかるべきところが正帰還がかかるように逆相で動くようになり、安定性が失われます。

これに対して $R_c\gt\frac{1}{g_{m2}}$ とした場合は Fig. 1-17b のように 1st stage から流入してくる電流を $g_{m2}$ の電流源で流すことができるために負帰還が維持されて安定します。

Appendix-1 に電流制限抵抗を加えた場合の小信号入出力伝達関数の式の導出過程を示しますが、結果としては次式で与えられます。
　　$\displaystyle \frac{v_{o}}{v_{i}}=\displaystyle \frac{A_{0}\cdot\left\{1+s\cdot C_{c}\cdot\left(R_{c}-\frac{1}{g_{m2}}\right)\right\}}{1+s/\omega_{p1}^{\prime}}$

Fig. 1-18 に $R_c$ をゼロから大きくしていった場合の Zero の軌跡を示します。

$R_c=0$ では Zero は右半面の $\omega =+\frac{g_{m2}}{C_c}$ の位置にあります。
$R_c$ を大きくすると右半面を高周波の方に移動し、$R_c=\frac{1}{g_{m2}}$ となると、$\omega =+\infty$ で、その瞬間に符号が負になるため左半面の $\omega =-\infty$ へ移ります。
その後は $R_c$ と共に左半面を低周波の方に移動します。

$R_c=\frac{2}{g_{m2}}$ とすると、丁度右半面にあった Zero が Y軸対称の位置に来ます。

オペアンプの代表的な回路トポロジとして、Fig. 2-1 のような Cascode 型の回路があります。
これは 1st Sage が入力の差動電圧を差動電流に変換する V-I 変換回路で、2nd Stage が 1st Stage で得られた差動電流をシングルエンドの電圧に変換する I-V 変換回路になります。

2nd Stage で Cascode 接続を用いることで “出力抵抗の増幅” を行い、高いゲインを稼ぐことがポイントです。

この節ではこのトポロジーの回路について、
　① DC 動作点解析
　② AC 小信号解析
　③ 位相補償
の説明を行っていきます。

はじめに上記トポロジの Cascode 型オペアンプが成り立つための前提・制約を示します。

まず $VC_p$ については M11,M12 が 5極管動作する必要があるため、$\Delta V_{cas}$ 分のマージンを考慮して
　　$VC_p=V_{dd}-V_{dsat}-\Delta V_{cas}$ 　　　… ①

となるように $VB_p$ 電圧を設定するものとします。
また、$VC_n$ については M5,M6 が 5極管動作する必要があるため、$\Delta V_{cas}$ 分のマージンを考慮して
　　$VC_n=V_{dsat}+\Delta V_{cas}$　　　… ②

となるように $VB_n$ 電圧を設定するものとします。
続いて Vx ノードについて M5 の $V_{gs}$ の関係から
　$V_x=V_{th}+V_{eff}$　　　… ③

M7 の 5極管条件から
　$V_x\gt VC_n+V_{dsat}$ 　　　… ④

② を ④ に代入すると
　$VC_n\gt V_{dsat}+\Delta V_{cas}+V_{dsat}$ 　　　… ⑤

したがって、④, ⑤ から
　$V_{th}+V_{dsat}\gt 2\cdot V_{dsat}+\Delta V_{cas}$
　$V_{th}\gt V_{dsat}+\Delta V_{cas}$

実はこれが Cascode 型オペアンプが実現できるかどうかの判定ポイントになります。

このように Diode 接続されたトランジスタに Cascode トランジスタが挿入できるかどうかは $V_{th}$ に大きく依存し、$V_{th}$ の低いトランジスタでは実現できないことに注意が必要です。

以下、上記の前提・制約を満足しているとして動作点解析を進めます。

まず、$V_c$ ノードについて
M0 を電流源として使用するためには 5極管条件を満足する必要があるため
　　$V_c\gt V_{dsat}$ 　　　… ⑥

M1 (M2) の $V_{gs}$ の関係から
　　$V_{ic}-V_c=V_{th}+V_{eff}$
　　$V_c=V_{ic}-V_{th}-V_{eff}$ 　　　… ⑦

⑥, ⑦ から
　　$V_{ic}-V_{th}-V_{eff}\gt V_{dsat}$

この式を変形して
　　$V_{ic}\gt V_{th}+V_{eff}+V_{dsat}$

以上から差動対の入力電圧 $V_{ic}$ の下限値がわかります。

具体的な数値を例にして、Cascode オペアンプが成立する前提条件を確認してみます。

まず $V_{th}=0.6V$ , $V_{dsat}=0.2V$ , $\Delta V_{cas}=0.1V$ とおいてみると、$V_{th}\gt V_{dsat}+\Delta V_{cas}$ の関係を満足することがわかります。

上記の条件以外に具体的な数値として例えば、$V_{dd}=1.8V$ , $V_{eff}=0.2V$ とおいてみると、
入力の電圧範囲は
　　$V_{th}+V_{eff}+V_{dsat}\lt V_{ic}$
　　　　　　　$\lt V_{dd}+V_{th}-2\cdot V_{dsat}= \Delta V_{cas}$
　　$1.0\lt V_{ic}\lt 1.9$

これは入力として電源電圧に達するような電圧の信号も受けることができることを示しています。

一方、出力の電圧範囲は
　　$\Delta V_{cas}+2\cdot V_{dsat}\lt V_o$
　　　　　$\lt V_{dd}-2\cdot V_{dsat}-\Delta V_{cas}$
　　$0.5\lt V_o\lt 1.3$

以上から、このオペアンプの入出力電圧のダイアグラムは Fig. 2-3 のように書けます。

Cascode 型のオペアンプは出力抵抗が極めて大きいため、負荷容量と出力抵抗で形成される 1st Pole (Dominant Pole) が非常に低い周波にできます。

これに対して Cascode Current Mirror や他の回路によって発生する寄生的な 2nd Pole は比較的高周波にできるので、2段増幅型のオペアンプに比べて位相余裕は確保しやすく、なにもしなくても安定条件で使えることもあります。

しかし、それでも位相余裕が十分ではない場合は、出力ノードに位相補償用の容量を追加することで、ドミナントポールシフトによる位相補償を行います。

すなわち、ゲインが十分落ちたところで 2nd Pole が来るように
1st Pole の周波数を低周波に移動させることで位相余裕を確保します。

電流制限抵抗がない場合の小信号等価回路を Fig. A1-1 に示します。

電流制限抵抗がある場合の小信号等価回路を Fig. A1-2 に示します。